2023届上海市嘉定区南翔镇怀少学校八年级数学第一学期期末经典试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷 考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；
非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列运算正确的是（　　　）
A． B．（ C． D． 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，∠CAD=25°，则∠ABE的度数为（　　）
A．30° B．15° C．25° D．20° 3．甲乙丙丁四个同学玩接力游戏，合作定成一道分式计算题，要求每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示，接力中出现错误的是（　　）
A．只有乙 B．甲和丁 C．丙和丁 D．乙和丁 4．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80° 5．如图，在和中，，，，那么的根据是（ ）
A． B． C． D． 6．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D． 7．在等腰三角形中，，则可以有几个不同值（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．下列命题是假命题的是（ ）
A．平方根等于本身的实数只有0；

B．两直线平行，内错角相等；

C．点P（2，－5）到x轴的距离为5；

D．数轴上没有点表示π这个无理数． 9．下列分式的变形正确的是（ ）
A． B． C． D． 10．如图，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D． 11．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 12．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C 二、填空题（每题4分，共24分）
13．=________. 14．81的平方根是__________；
的立方根是__________． 15．若关于的方程的解不小于,则的取值范围是_______． 16．若直线与直线的图象交x轴于同一点，则之间的关系式为_________． 17．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______． 18．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____． 三、解答题（共78分）
19．（8分）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N． （1）如图1，求证：AE=BD；

（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形． 20．（8分）如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. （1）当点D在AC上时,如下面图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论，不需要证明. （2）将下面图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如下图2,上述关系是否成立？如果成立请说明理由. 21．（8分）已知：如图，交于点，连结． （1）求证:． （2）延长交于点，若，求的度数． 22．（10分）小明在作业本上写了一个代数式的正确演算结果，但不小心被墨水污染了一部分，形式如下：
求被墨水污染部分“”化简后的结果；

原代数式的值能等于吗?并说明理由． 23．（10分）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度. 24．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F， （1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 25．（12分）如图，在等边中，点，分别是，上的动点，且，交于点． （1）如图1，求证；

（2）点是边的中点，连接，． ①如图2，若点，，三点共线，则与的数量关系是 ；

②若点，，三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 26．图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的面积为 ；

（2）观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ；

（3）若，，求；

（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？ 参考答案 一、选择题（每题4分，共48分）
1、C 【详解】A、x•x2=x3同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；

B、（x5）3=x15，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误． C、（ab）3=a3b3，故本选项正确；

D、a6÷a2=a4同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选项错误． 故选C． 【点睛】 同底数幂的除法，底数不变指数相减；
同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
幂的乘方，底数不变指数相乘. 2、D 【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】解:证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC， 又∵∠BFD=∠AFE，∴∠CAD=∠FBD， 在△BDF和△ACD中 ， ∴△BDF≌△ACD（AAS）， ∴∠DBF=∠CAD=25°． ∵DB=DA，∠ADB=90°， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABE=∠ABD﹣∠DBF=20° 故选：D． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3、C 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】 ＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝， 则接力中出现错误的是丙和丁． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键． 4、C 【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析． 【详解】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；

②底角是80°． 所以底角是50°或80°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形底角的问题，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 5、A 【分析】求出∠DAC＝∠BAE，根据SAS推出两三角形全等即可． 【详解】∵， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAB＋∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ACD和△AEB中， ， ∴△ACD≌△AEB（SAS）
故选A． 【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 6、D 【分析】分别写出、都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择． 【详解】当、都扩大3倍时， A、，故A错误． B、，故B错误． C、，故C错误． D、，故D正确． 故选D． 【点睛】 本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式． 7、B 【分析】根据等腰三角形的定义，∠A可能是底角，也可能是顶角，进行分类讨论即可． 【详解】解：①当∠A是顶角时，∠B=∠C=， ②当∠A为底角，∠B也为底角时， ， ③当∠A为底角，∠B为顶角时，∠B=， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，涉及分类讨论问题，解题的关键是对∠A，∠B进行分类讨论． 8、D 【分析】根据平方根的定义可判断A，根据平行线的性质，可判断B，根据坐标系中，点与坐标轴的距离，可判断C，根据数轴上的点与实数一一对应，可判断D． 【详解】A. 平方根等于本身的实数只有0，是真命题，不符合题意；

B. 两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；

C. 点P（2，－5）到x轴的距离为5，是真命题，不符合题意；

D. ∵数轴上的点与实数一一对应， ∴数轴上有点表示π这个无理数，故原命题是假命题，符合题意． 故选D． 【点睛】 本题主要考查真假命题的判断，熟练掌握平方根的定义，平行线的性质，坐标系中点与坐标轴的距离以及数轴上点表示的数，是解题的关键． 9、A 【分析】根据分式的基本性质进行判断． 【详解】A选项：，故正确；

B选项：，故错误；

C选项：，故错误；

D选项：，故错误；

故选：A． 【点睛】 考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质． 10、B 【分析】由△ABC≌△EBD，可得AB＝BE＝4cm，BC＝BD＝7cm，根据EC＝BC﹣BE计算即可． 【详解】解：∵△ABC≌△EBD， ∴AB＝BE＝4cm，BC＝BD＝7cm， ∴EC＝BC﹣BE＝7﹣4＝3（cm）， 故选：B． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 11、C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【详解】A、不是轴对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选A． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的识别，解决本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,据此分析即可. 12、B 【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；

C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分）
13、1． 【解析】试题分析：先算括号里的,再开方.． 故答案是1． 考点：算术平方根． 14、±9 【分析】根据平方根及立方根的定义即可求出答案． 【详解】根据平方根的定义可知81的平方根是±9， 的立方根是． 故答案为：±9，． 【点睛】 本题考查了平方根及立方根的知识，难度不大，主要是掌握平方根及立方根的定义． 15、m≥-8 且m≠-6 【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出. 【详解】解：解关于x的方程 得x=m+9 因为的方程的解不小于，且x≠3 所以m+9≥1 且m+9≠3 解得m≥-8 且m≠-6 . 故答案为：m≥-8 且m≠-6 【点睛】 此题主要考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，重点注意分式方程存在的意义分母不为零. 16、2p+3q=1． 【解析】根据图象与x轴交点求法得出直线y=3x+p与直线y=-2x+q的图象与x轴交点，进而利用两式相等得出答案即可． 【详解】解：∵直线y=3x+p与直线y=-2x+q的图象交x轴于同一点， ∴当y=1得出1=3x+p， 当y=1得出1=-2x+q， 整理得出：2p+3q=1， 故答案为：2p+3q=1． 17、17，144，145 【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可． 【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17， 继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1， 所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145. 故答案为17，144，145. 【点睛】 本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 18、1 【分析】由题意可得△ABE是直角三角形,根据勾股定理求出其斜边长度,即正方形边长,再根据割补法求阴影面积即可. 【详解】∵AE⊥BE， ∴△ABE是直角三角形， ∵AE＝3，BE＝4， ∴AB＝＝＝5， ∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝52﹣×3×4＝25﹣6＝1． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了勾股定理的简单应用,以及割补法求阴影面积,熟练掌握和运用勾股定理是解答关键. 三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；
（2）△ACB≌△DCE， △EMC≌△BCN， △AON≌△DOM， △AOB≌△DOE． 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；

（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形. 【详解】（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD=∠ACE， 在△ACE与△BCD中， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD；

（2）∵AC=DC， ∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；

由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC， ∴∠DOM=90°， ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD， ∴△EMC≌△BCN（ASA）， ∴CM=CN， ∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS）， ∵DE=AB，AO=DO， ∴△AOB≌△DOE（HL）． 20、（1）；
（2）成立，见解析 【分析】（1）根据SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ABD=∠EAC，然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CE；

（2）根据SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ABF=∠ECA，作辅助线BH构建对顶角，再根据三角形内角和即可得解. 【详解】（1）BD=CE，BD⊥CE；
理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中， ∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE 延长BD交EC于F，如图所示：
由△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠EAC ∵∠ADB=∠CDF ∴∠CFD=∠DAB=90° ∴BD⊥CE；

（2）成立；
理由如下：
延长BD交AC于F，交CE于H，如图所示：
∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中， ∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE 在△ABF与△HCF中， ∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC ∴∠CHF=∠BAF=90° ∴BD⊥CE 【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，熟练掌握，即可解题. 21、（1）见解析；
（2）
【分析】（1）根据题意，利用公共角的条件通过边角边的证明方法求解即可得解；

（2）根据三角形全等的性质及内角和定理进行计算即可得解. 【详解】（1）
即 ；

（2）如下图：
， . 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与形式，熟练掌握全等三角形的证明是解决本题的关键. 22、（1）；
（2）原代数式的值能等于1，理由见解析. 【分析】（1）设被墨水污染部分“”为A，根据题意求出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；

（2）令原代数式的值为1，求出x的值，再代入代数式的式子中进行验证即可． 【详解】解：（1）设被墨水污染部分“”为A， 则 故化简后的结果；

（2）原代数式的值能等于1，理由如下：
令， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 所以原代数式的值能等于1． 【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义． 23、甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h. 【分析】解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h，根据甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地列出方程进行求解即可. 【详解】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根据题意得 ， 解得x＝60， 经检验，x＝60是原分式方程的解且符合实际意义， 1.5x＝90， 答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 24、（1）见解析；
（2）. 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE＋BE＝1＋2＝3，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴. ∵是边上的中线， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 25、（1）证明过程见详解；
（2）①；
②结论成立，证明见详解 【分析】（1）先证明，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；

（2）①；
由等边三角形的性质和已知条件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB＝30°，进而可得AP＝PC，由30°角的直角三角形的性质可得PC＝2PM，于是可得结论；

②延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，根据SAS可证△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，易证△CMN≌△BMP（SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论． 【详解】（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以 ∵ ，∴ ，∴， 在四边形AEPD中，∵， ∴， ∴，∴；

（2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝∠BAC＝30°，∴PB＝PC， ∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°， ∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP， ∴AP＝PC，∴AP＝2PM；

故答案为：；

②AP＝2PM成立，理由如下：
延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°， ∴△PCD是等边三角形， ∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°， ∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD， ∴∠BCP＝∠ACD， ∴△ACD≌△BCP（SAS）， ∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°， ∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°， 延长PM至N，使MN＝MP，连接CN， ∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM， ∴△CMN≌△BMP（SAS）， ∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM， ∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°， ∴∠NCP＝60°＝∠ADP， 在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC， ∴△ADP≌△NCP（SAS）， ∴AP＝PN＝2CM；

【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；
熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 26、（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；

（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m＋n）2、（m−n）2、mn之间的等量关系． （3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x−y）2，继而可得出x−y的值． （4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式． 【详解】（1）图2中的阴影部分的面积为 故答案为：；

（2）
故答案为：；

（3）由（2）可知 ∵，， ∴ ∴ ∴ （4）由图形的面积相等可得：. 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．