小学数学新课标模型意识培养及评价策略

小学数学新课标模型意识的培养及评价策略  史宁中教授提出数学发展所依赖的思想在本质上有三个，分别是抽象、推理和模型。新课标也指出，数学课程要培养学生的核心素养包括：会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。其中数学语言包括模型意识或模型观念，可见发展学生的数学模型思维是极其有必要的。

一、模型意识的内涵  那么，什么是数学模型？数学模型代指数学语言、符号、图形和算法等能够概括或表述实际问题的主要特征以及主要关系的数学结构。从广义上说，基本的数学概念、代数符号、几何图形、数量关系等数学结构都是数学模型。例如，从具体情境中抽象出的分数、小数、百分数、负数等数学基本概念就是数学模型。需要指出的是，小学阶段学生经常接触和练习的数学模型是数量关系模型，如总价单价数量，路程速度时间等。通俗来讲，小学阶段常见的解应用题就是运用数量关系模型解决其它同类问题的过程。从狭义上说，针对特定问题而形成的结构性算法也是数学模型，其目的是解决特定问题。小学阶段常见的特定数学模型有“鸡兔同笼”问题、“间隔植树”问题等。

 2011版课标和2022版课标中有关数学模型的描述如下：
 2011年版的数学课程标准提出了“模型思想”的概念，通过对比可以发现，2011版课标中的“模型思想”与2022版课标初中阶段的“模型观念”比较接近。2022版课标提出核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段有不同的表现，因此2022年版数学课程将“模型思想”细化成“模型意识”与“模型观念”。根据学生的认知水平以及学习内容，使得中小学不同年龄段所侧重的方向各不相同。其中小学更侧重于培养学生的“模型意识”，更侧重对数学模型的初步的感悟、运用，而初中阶段侧重于培养学生的“模型观念”，二者在义务教育阶段，均是数学语言的主要表现之一。

二、模型意识培养策略  小学生以直观形象思维为主，渐近抽象逻辑思维的阶段，而数学概念、定理等抽象而复杂，对多数小学生来说学习难度比较大。数学模型意识的培养能帮助学生对数学概念的理解，提高教与学有效性，有助于学生顺利从形象思维过渡到抽象逻辑思维。那么，在核心素养背景下，小学数学教学应如何培养学生的模型意识呢？ （一）创设情境，形成初步的模型意识  弗赖登塔尔提出：数学源于生活，数学的知识都根源于生活中的普通常识。在培养学生模型意识的的数学教学过程中，首先要注重数学知识原型的发掘。只有对现实情境有了充分的认识，才能有效培养模型意识。因此，教师要善于充分利用身边的生活素材，把数学内容放在真实且有趣的情境中，创建与实际生活相符的情境，让学生经历从生活原型问题逐步抽象到数学问题的过程。

 例如，教学“平均数”时，教师可以借助真实情境，出示班级两个小组踢毽比赛成绩。

 教师提问：哪个队的踢毽成绩好？为什么？  此时，男生会认为因为男生队的踢毽总个数比第女生队多，所以男生队的踢毽成绩好。但是女生认为：虽然男生队的踢毽总个数女生队多，但是两个队的人数不同，这样比较不公平。

 紧接着，追问：那怎么办呢？（引出平均数）
 由此，学生结合自己的生活实践，自然而然得出：将一组数值的总和除以这组数值的个数，所得到的数叫做这组数值的平均数。

      “平均数”这一抽象的知识，隐藏在具体的问题情境中，学生在具体情境中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的生活原型问题中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程。

（二）动手操作，初步感知数学模型   建构主义学习观认为，知识不能简单地由教师或他人传授给学生，而只能由学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构。因此，教学中，教师要充分利用学生的动手操作体验，让学生从操作中感知问题，并通过语言符号将之抽象为数学问题，最终运用模型思维构建数学模型、寻求并理解解决问题的方案。

  例如，教学“小数的认识”时，“把1米平均分成10份，其中一份是1/10米，还可以写成0.1米。”  这一直观模型是一个具体化的认知，有局限性，不具有一般意义。对于学生来说是一个难点，因此需要教给学生一些解决问题的策略，如动手画示意图或线段图、模拟演示等。

 教师教学时，可以准备学具线段图、长方形、正方形、圆形等，请学生选择一个图形或自己画一个图形代表1元或1米，在图上表示出0.1元或0.1米。大多数学生能够准确地将长方形、正方形或线段图平均分成10份，在“数”与“形”的一一对应下找到图中表示“0.1”的那一份。

 当教师出示三角形或不规则图形，让学生在图中表示出0.1，学生可能一脸茫然，认为这些图形不可能均分。接着教师问：“如果有人把它平均分成了10份，那么0.1会出现吗？”这时，大多数学生非常肯定地回答，表示其中的1份就是0.1。讲到这里，教师引导学生对前面各种图形所表示的0.1进行比较，从而归纳出“无论什么图形，只要把这个图形平均分成10份，其中的1份是1/10，可以用0.1表示”这一抽象的数学模型。

 在这一教学过程中，教师利用图形为学生搭建了操作活动的平台，让学生自己选择一个图形或自己画一个图形表示0.1，给了学生想象的空间，建立起形与数的联系，实现从依赖具体图形认识0.1米到脱离具体图形认识0.1。让学生在动手操作的过程中，初步感知数学模型。

（三）知识迁移，利用“旧模”建立“新模”  学生的认知结构是在掌握知识过程中形成和发展的，是学生原有认知结构与新知识相互作用的结果。在这一过程中，学生原有的认知结构遇到一种新的知识输入而产生一种不平衡的状态，通过学生的认知活动使其原有的认知结构与新知识发生作用，这时新知识被学生原有的认知结构所吸收，即“同化”，从而使学生的认知结构达到新的平衡——建立起新的（或统一的）数学模型。

 例如，“小数乘小数”一课，出示例题：
 这道题第一步要求出长方形宣传栏的面积，在学习本节课之前，学生已经掌握了小数乘整数的计算方法，即先按照整数乘法的方法算出积，因数的小数部分有几位，就在积中从右往左数出几位，点上小数点。因此例题出示之后，学生立刻想到了以下方法解决长方形宣传栏的面积：
 算法一：2.4米=24分米，0.8米=8分米，24×8=192（平方分米），192平方分米=1.92平方米。算法二：将两个因数都扩大10倍，算出积之后再缩小100倍，即：2.4×0.8=24×8÷100=192÷100=1.92（平方米）。交流之后，学生还可以通过简图验证了两种算法的正确性。

 在这一教学过程中，要引导学生建构小数乘法计算方法的模型，可以先建构整数乘整数和小数点移动规律的模型，在此基础上先学习小数乘整数的计算方法，再学习小数乘小数的计算方法，这样使学生将新学的小数乘小数的计算方法纳入已经十分熟悉的小数乘整数中，感悟其共同点——先按照整数乘法的方法计算出积，再看两个因数中一共有几位小数，就在积中从右往左数出几位，点上小数点，从而最大限度地扩大新旧知识的同化，建立起小数乘法计算方法的完整数学模型，让学生利用“旧模”建立“新模”，初步感悟数学模型的普适性。

三、模型意识评价策略  在义务教育数学课程学业质量标准中，有关模型意识的描述只有第三学段有涉及，指出：能从数学生活情境中，在教师指导下，初步学会用数学的眼光观察，尝试、探索发现问题，将所学的数学知识应用于解决现实生活中的问题，形成初步的模型意识和应用意识。因此，对应学业质量标准，以常见数量关系模型——路程、时间和速度为例按照三个维度设计进阶性测试题。

 1. 一架小汽车的速度是134km/h, 但却不是值得高兴的事，你知道是为什么吗?  在义务教育数学课程学业质量标准中，有关模型意识的描述只有第三学段有涉及，指出：能从数学生活情境中，在教师指导下，初步学会用数学的眼光观察，尝试、探索发现问题，将所学的数学知识应用于解决现实生活中的问题，形成初步的模型意识和应用意识。因此，对应学业质量标准，以常见数量关系模型——路程、时间和速度为例按照三个维度设计进阶性测试题。

 1. 一架小汽车的速度是134km/h, 但却不是值得高兴的事，你知道是为什么吗?  设计说明：小汽车的速度是134km/h，而图片所示小汽车限速120km/h，是需要学生依据生活经验用数学的眼光观察获得的信息，本题让学生在具体的生活情境中解决与速度有关的问题，感受速度与生活实际的密切联系，并将数学知识与自身生活经验对接，体验速度在生活中的应用，初步学会用数学的眼光观察世界。

2. 陈列在柳州工业博物馆的热汽机火车是当时的火车，它的行驶速度是34千米/时，去一趟南宁约要7小时。内燃机火车（绿皮火车）当年的行驶速度约是80千米/时。2013年柳州至南宁高铁开通，速度平均速度235千米/时。（1）你能用表格整理上面的数量吗？ （2）乘坐内燃火车，从柳州到南宁大约需要多少小时? （3）乘坐高铁，从柳州到南宁大约需要多少小时?  设计说明：借助“铁路提速”这一现实的主题情境设计系列练习，引导学生在变化中发现不变，发现并提炼“速度×时间=路程”、“路程×速度=时间”的数量关系模型。

 3.解决下列问题：
（1）要想解诀上面的这些问题，你还想知道哪些条件？ （2）如果告诉你下面的三个条件，你能列式解决上面的三个问题吗? （3）为什么它们都是用乘法计算？你有什么发现? 设计说明：通过问题驱动、看图记录、对比求同、概括提炼等环节，让学生完整经历分析数量关系解决问题的过程，经历数学的思考、表达和归纳，从而建构数量关系模型并应用模型解决问题。在教学时要注意提炼出数关系的核心，也就是“1”和“多”的辩证关系，让学生更加清晰、完整的感知数量关系模型。

 总之，数学是一种模型科学，数学教学同样是模型建构的教学。小学数学的内容蕴含着深刻的数学模型，教师在教学中要有意识地培养学生的模型意识，促进学生把握数学模型的本质，提升数学素养。